통계) 이산형 확률 분포

확률 분포(probability distribution): 확률 변수 X가 취할 수 있는 모든 값과 그 값을 나타날 확률을 표현한 함수

 

🔔이산형 확률분포: 확률변수 X가 유한개이고, 모든 확률 변수에 대하여 균일한 확률을 갖는 분포

예시) 주사위 굴리기

 

🔔베르누이 시행(Bernoulli trial): 각 시행의 결과가 성공, 실패 두가지 결과만 존재하는 시행

예시)

 

🔔이항분포(Binomial distribution): 연속적인 베르누이 시행을 거처 나타나는 확률 분포임

- 서로 독립인 베르누이 시행을 n번 반복해서 실행 했을 때, 성공한 횟수 X의 확률 분포

예시)

예시)

🔔포아송 분포(Poisson distribution): 어느 희귀한 사건이 어떤 일정한 시간대에 특정한 사건이 발생할 확률 분포

(ex. 야구장에서 파울볼을 잡을 횟수, 1년간 지구에 1미터 이상의 운석이 떨어지는 수 등)

 

- 포아송 분포의 조건

1. 어떤 단위구간(예, 1일)동안 이를 더 짧은 작은 단위의 구간(예: 1시간)로 나눌 수 있고 이러한 더 짧은 단위구간 중에 어떤 사건이 발생할 확률은 전체 척도 중에서 항상 일정

2. 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가까움

3. 어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위구간의 발생으로부터 독립적임

4. 특정 구간에서의 사건 발생확률은 그 구간의 크기에 비례함

5. 포아송분포 확률 변수의 기댓값과 분산은 모두 λ 임

예시)

- 이항 분포의 포아송 근사

확률 변수 X가 X ~ B(n,p)이고, n이 충분히 크고, p가 아주 작을 때, X의 분포는 평균이 λ = np인 포아송 분포로 근사 시킬 수 있음(보통 n이 클때, np<5를 만족하게 p가 작으면 근사 정도가 좋다고 함 X ~ Poisson(np))

🔔기하분포(geometric distribution): 어떤 실험에서 처음 성공이 발생하기 까지 시도한 횟수 X의 분포, 이때 각 시도는 베르누이 시행을 따름

예시)

 

🔔음이항분포(negative binomial distribution): 어떤 실험에서 성공확률이 p일 때, r번의 실패가 나올 때 까지 발생한 성공 횟수 X의 확률 분포

 

📌 총정리