통계) 확률

확률: 모든 경우의 수에 대한 특정 사건이 발생하는 비율

🔔 확률의 고전적 정의

어떤 사건의 발생 확률은 그것이 일어날 수 있는 경우의 수 대 가능한 모든 경우의 수의 비이다. 단, 이는 어떠한 사건도 다른 사건들보다 더 많이 일어날 수 있다고 기대할 근거가 없을 때, 그러니까 모든 사건이 동일하게 일어날 수 있다고 할 때에 성립한다. (확률의 최초의 정의는 수학자 라플라스의 논문 Théorie analytique des probabilités)

 

표본공간: 어떤 실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합

🔔 통계적 확률 정의

어떤 시행을 N번 반복했을 때, 사건 A에 해당하는 결과가 r번 일어난 경우 r/N 이고, 사건 A가 일어날 상대도수라고 함.

N이 무한히 커지면 상대도수는 일정한 수로 수렴하는데, 이 극한값을 사건 A의 통계적 확률 또는 경험적 확률이라고 함.

확률의 성질 (합사건/곱사건/배반사건/여사건)

1) 확률의 덧셈법칙: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

2) A와 B가 배반 사건이면, P(A ∩ B) = P(∮ ) = 0

3) A의 여사건이 AC 이면, P(A) + P(AC) = 1

 

순열과 조합

팩토리얼: ! (Factorial): n개를 일렬로 늘여 놓은 경우의 수를 n!로 표현

순열: 순서를 고려하여 n개 중 r개를 뽑아서 배열하는 경우의 수

조합: 순서를 고려하지 않고 N개 중 R개를 뽑아서 배열하는 경우의 수

a) 1등확률: (45*44*43*42*41*40)/(6*5*4*3*2*1) = 1/8,145,060

b) 2등확률: 1등확률 * 6 = 6/8,145,060

 

조건부 확률: 어떤 사건 A가 발생한 상황에서(주어졌을 때) 또 하나의 사건 B가 발생할 확률

확률의 곱셈법칙

 

베이즈 정리(Bayes’ Theorem)

 

 

 

확률변수: 표본공간에서 각 사건에 실수를 대응시키는 함수
확률적인 상황에 따라 결과값이 바뀌는 변수
일반적으로 확률 변수는 대문자로 표현하며, 확률변수의 특정값을 소문자로 표현

💥 확률 변수 예시

반도체 1000개의 wafer중 불량품의 수 X / 공장에서 생산하는 전구의 수명 T / 주사위를 던질 때 나오는 눈의 수 V

 

🔔 기대값: 확률 변수의 평균

a, b가 상수이고, X, Y를 임의의 확률 변수라고 할 때 다음이 성립

(a) E(a) = a

(b) E(aX) = aE(X)

(c) E(aX+b) = aE(X) + b

(d) E(aX±bY) = aE(X) ± bE(Y)

(e) X,Y가 독립일 때 E(XY) = E(X)E(Y)

 

🔔 확률변수의 분산

a, b가 상수이고, X, Y를 임의의 확률 변수라고 할 때 다음이 성립

(a) Var(a) = 0  (=상수의 분산은 0)

(b)Var(aX) = a^2Var(X)

(c) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

(d) Var(aX±bY) = a^2Var(X) ± b^2 Var(Y) + 2Cov(X,Y)

(e) X, Y가 독립 일때 Var(XY) = 0

(f) Var(X) = E(X^2) − [E(X)]^2

 

🔔 공분산: 2개의 확률변수의 선형 관계를 나타내는 값

하나의 값이 상승할 때 다른 값도 상승한다면, 양의 공분산을 가지고 반대로 하나의 값이 상승할 때 하락한다면 음의 공분산을 가짐